Diagrama de Arbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Este está constituido de varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. En el esquema que se presenta a continuación se observa que la rama principal esta constituida de evento  con diferentes posibilidades como son:  la siguiente rama consta de eventos distintos, por ejemplo,   que se realizan después de ocurrir  , así de manera sucesiva pueden ocurrir eventos después de cualquiera de ellos. Otro ejemplo es el que se muestra, ocurren después  del evento  ocurriendo los eventos  . También observamos que cada evento forma un universo para cada evento por lo que cada rama, de acuerdo con el axioma  de normalizabilidad, tendrá que ser igual a uno. 

  

Se  lanza una moneda cargada, a favor del lado del águila, si cae águila la moneda se saca una bola de una urna A en caso contrario de la urna B, la urna A tiene objetos de tipo s, la urna B objetos de tipo r, se sabe que por el contrario la urna B tiene objetos de tipo s y r, pero no la misma cantidad. Bosqueje mediante un diagrama de árbol la solución, a fin de encontrar la probabilidad.

 

Video sobre Diagrama de Arbol

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

Combinación

Son eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto orden

Una combinación es una selección de objetos sin importar el orden en que se escojan:

                                                

Permutación

Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es ; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto .

El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento.

                                                       

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ

Ejemplo : ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320

PERMUTACIONES CIRCULARES

Ahora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado de la otra en fila, el número de arreglos que podemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar al rededor de una mesa circular, ¿de cuántas formas lo podemos hacer?

Observemos los siguientes arreglos:

Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puede leerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC, que son 4 arreglos diferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular. Entonces, en lugar de tener 4! que es el número de arreglos en fila, tenemos solamente .

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo 7: ¿ De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un salón de clases con 25 pupitres?

Solución: El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendrá 24 lugares a escoger, el tercero 23, así sucesivamente; por lo tanto el número de arreglos sin repetición de 25 elementos tomados de 6 en 6 es:

Esto se simboliza por = 

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Veamos otra aplicación del principio de la multiplicación. Supongamos que tenemos 20 niños de un grupo de Preescolar y 10 sabores de helados disponibles. ¿De cuántas formas diferentes podemos servir un helado a 20 niños?

Al primer niño le podemos servir uno de los 10 sabores, al segundo niño también le podemos servir los 10 sabores, al tercero también, y así sucesivamente. A cada uno de los 20 niños le podemos servir de los 10 sabores, por lo que

= n^r

Observe que r es el número de veces que se repiten los n elementos.

RESUMEN DE LAS PERMUTACIONES

DESCRIPCIÓN	FÓRMULA
Permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez
Permutaciones circulares de n elementos	!
Permutaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r, donde r £ n
Permutaciones con repetición de n elementos tomados de r en r
Permutaciones de n elementos de los cuales p1 son de un tipo, p2 son de otro tipo, ¼ , pk de otro tipo, donde p1 + p2 + ¼ +pk = n.

TEORIA DE CONJUNTOS

En nuestro universo existe una infinidad de conjuntos, todas las cosas que percibimos a nuestro alrededor por medio de los sentidos, hacen que cada objeto se clasifique por sus características esenciales dentro de un conjunto especifico.

Singificado de Conjunto: colección de objetos llamados elementos del conjunto los cuales van separados por comas y entre llaves.
L={a,b,c,d}

   

En un conjunto no se distinguen repeticiones de los elementos {a,b,c,d} = {a,b,c,d, a,c,d} y el orden no tiene ningún significado {a,b,c,d} = {b,a,d,c}.
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
Conjunto simple: tiene un solo elemento {1}
Conjunto vacío: no tiene elementos y se denota por
Conjunto de los números naturales N = {0, 1, 2, 3,.....,} o conjunto de enteros no negativos.
Otra manera de especificar un conjunto es por referencia a otros conjuntos y a propiedades que pueda o no tener G={x|xI"and"x2}.
Sub-conjunto: un conjunto es sub-conjunto de otro sí cada elemento de A es también elemento de B; se especifica A B y se dice que A es un sub-conjunto de B.
Ejemplo:
A = {1,2,3} y B = {0,1,2,3,4,5} se tiene AB, pero B no es sub-conjunto de A porque los elementos 0, 4 y 5 de B no son los de A.

OPERACIONES CON CONJUNTOS  

Las diferentes operaciones que se pueden realizar con los conjuntos y sus elementos nos demuestran que los conjuntos tienen ciertas cualidades que se pueden aplicar para una solución real y completa de los problemas que se nos pueden presentar. 

Existen operaciones que nos permiten crear nuevos conjuntos a partir de otros conocidos. Esos conjuntos adquieren características de uno y otro conjunto pero no será idéntico a uno solo conjunto.

Unión (U): la unión de dos conjuntos es el conjunto que tiene como elementos aquellos que son elementos de al menos uno de los conjuntos y tal vez de ambos AUB={x|xA or xB}.

Ejemplo:
A={a,b,c,d} B={b,c,d,e} AUB={a,b,c,d,e}

Intersección (): la intersección de dos conjuntos es la colección de elementos que los dos conjuntos tienen en común AB={x|xA and xB}.
Ejemplo:
AB={b,c,d}

Nota: dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común, si su intersección es el conjunto vacío.

Diferencia (-): la diferencia de dos conjuntos A y B, denotada por A-B es el conjunto de elemento de A que no son elementos de B. A-B={x|x A and xB}.
Ejemplo:
A={0,2,4,6,8,10} B={1,2,3} A-B={0,4,6,8,10} y B-A={1,3}

Producto cartesiano (x): Producto cartesiano es el conjunto de pares ordenados de los que el primer elemento proviene de A y el segundo de B. AXB={(a,b)| aA y bB}
Ejemplo:
A={1,2,3} y B={5,6}
AXB={(1,5)(2,5)(3,5)(1,6)(2,6)(3,6)}

Conjunto potencia: el conjunto potencia de un conjunto A es el conjunto de todos sus sub-conjuntos se denota por Aⁿ. Aⁿ={B|BA}.