Axiomas de Probabilidades

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
El axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y conclusiones posteriores se deducen de este.
Etimología
La palabra axioma proviene del griego αξιωμα (axioma), que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.
Lógica
La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por sí misma (el axioma) e inferir sobre esta otras proposiciones por medio del método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y sólo de ellos, han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.
Limitaciones
Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable y, por tanto, P es verdadero.
Matemáticas:
En lógica matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.
Axiomas lógicos
Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje
Axiomas no-lógicos
Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.
Casi cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.
En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas no-lógicos simplemente como axiomas, esto no significa que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos no-conmutativos.
Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.

Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticas los eventos se clasifican de la siguiente forma:


MUTUAMENTE EXCLUYENTE: Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo ejemplo: “CARA o ESCUDO”

INDEPENDIENTES: estos no se ven afectados por otros. Ejemplos:
“color de zapatos, blusas o la probabilidad de que llueva hoy”

DEPENDIENTE: cuando un evento afecta la probabilidad de ocurrencia de otros. “Repaso-calificaciones”

NO EXCLUYENTE ENTRE SI: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro ej. Que una personas sea doctor y que tenga 50 años”, “un estudiante que este casado”

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condicion que se presente uno u otro evento la probabilidad total se forma por la suma directa de las probabilidades.

P ( A o B) = P(A) + P (B)

En el caso de eventos no excluyentes entre si debe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos eventos esta incluida en ellos esa probabilidad de sumas directas.
REGLA GENERAL DE LA SUMA DE PROBABILIDADES:

P (A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condicion que se presente uno y otro la probabilidad total se forma por la multiplicación directa de las probabilidades individuales se los eventos son independientes.

P (A Y B) = P (A) * P (B): (Si son independientes)

Si los eventos son dependientes debe considerarse que ocurra un segundo evento si ya ocurrió un primer evento, esto se conoce como REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES.
P(A y B) = P(A) * P (B / B )

EJEMPLOS DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Una caja contiene 8 tarjetas de color verde; 5 de color rojo y 1 de color celeste. Hallar la probabilidad de que al extraer aleatoriamente una tarjeta sea de color rojo

P(tr) = . 5 . = 5 = 0.36
8 + 5 + 1 14

EJEMPLO DE EVENTOS INDEPENDIENTES:
Una caja contiene 8 tarjetas de color verde; 5 de color rojo y 1 de color celeste. Determine la probabilidad de que al extraer al azar uno de estas tarjetas sea color roja y celeste.

P(r ó c) = 5 + 1 = 0.36 + 0.07
14 14