Probabilidad Condicional

Durante el mes cero cierto producto es preferido por el 60% del mercado y otros varios por el resto. Los clientes compran una vez al mes . Si alguien compra el producto A, la probabilidad que lo vuelva a comprar en el siguiente mes es de 75% y de un 25% de que se cambie. Si un cliente compra un producto de la competencia en un mes la probabilidad que se cambie al producto A es de 45% y 55% de que permanezca fiel a la marca de la competencia. Encuentre el porcentaje de participación esperado en el mercado por A al final del segundo mes.

SOLUCION:

Aquí realizaremos un diagrama de árbol donde definiremos primero la probabilidad de aceptación en el primer mes por el producto A que en este caso seria el 60%, y el 40% seria el del producto de la competencia.
Para sacar las probabilidades del segundo mes primero debemos de hacerlo para el producto A donde del 60% que compran aquí el 75% sigue comprando este producto y el 25% se cambia al otro producto. Para los que en el primer mes compraron el producto de la competencia que era el 40% , en el segundo mes que compraron el 45% se cambio al producto A y el 55% siempre compró el producto de la competencia , tomando encuentra que el porcentaje es igual a la probabilidad de cada uno por lo que nuestro diagrama del árbol quedaría de esta forma:

En este caso solo nos interesa que en el segundo mes o sea al final los clientes compren el producto A, esto quiere decir, que solo vamos a tomar encuentra los porcentajes de aceptación del producto A, ya sea que desde el inicio compro el producto A o no pero que al final si compro A.
Por lo que nos quedaría de esta forma:
P( C ) = ( 0.6*0.75) + (0.4*0.45) = 0.63
Donde el primer paréntesis representa que al inicio prefiere A y luego permanece en A, y el segundo paréntesis representa que al inicio prefiere B pero que luego al final prefiere A. Obteniendo así las 2 formas donde terminan comprando al final el producto A.
También se puede hacer de la siguiente forma:
P( C ) = (A 1 A 2 ) U (B 1 A 2 )
P( C ) = P(A 1 ) * P(A 2 /A 1 ) + P(B 1 ) * P(A 2 /B 1 )
En donde;
P(A)= 0.6
P(B)= 0.4
P(A 2 /A 1 ) = 0.75
P(B 2 /A 1 )= 0.25
P(B 2 /B 1 )= 0.55
P(A 2 /B 1 )= 0.45
Por lo que nos quedaría de la siguiente forma;
P( C ) = (0.6) * (0.75) + (0.4) * ( 0.45) = 0.63